双纽线极坐标面积公式推导
时间：2026-10-22 14:02:11来源：双纽线是一种特殊的平面曲线，其极坐标方程为 $ r^2 = a^2 cos 2 heta $。求其在极坐标下的面积，需利用极坐标面积公式：
$$ A = frac{1}{2} int_{ heta_1}^{ heta_2} r^2 d heta $$
由于双纽线具有对称性，只需计算第一象限的面积并乘以4即可。
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 极坐标方程：$ r^2 = a^2 cos 2 heta $ |
| 2 | 面积公式：$ A = frac{1}{2} int_{0}^{frac{pi}{4}} r^2 d heta $ |
| 3 | 代入 $ r^2 $ 得：$ A = frac{1}{2} int_{0}^{frac{pi}{4}} a^2 cos 2 heta d heta $ |
| 4 | 计算积分：$ A = frac{a^2}{2} cdot left[ frac{sin 2 heta}{2} ight]_0^{frac{pi}{4}} = frac{a^2}{4} $ |
| 5 | 总面积：$ A_{ ext{总}} = 4 imes frac{a^2}{4} = a^2 $ |
综上，双纽线在极坐标下的面积为 $ a^2 $。
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